O modelo inflacionário

A principal idéia da Inflação supõe que houve uma época, nos primeiros instantes do Universo, em que o fator de escala $R(t)$ cresceu exponencialmente. O modelo inflacionário foi proposto como uma possível solução ao problema do horizonte e da curvatura. Seu formalismo baseia-se nas Teorias de Grande Unificação. Guth supôs que, quando o Universo tinha a escala de Planck ($l_{P}\approx 10^{-35}$ m), sua energia estaria concentrada em um campo escalar $-u_{vf}$. No intervalo $10^{-34} \textrm{ s}<t<10^{-32}$ s o Universo teria experimentado uma transição de fase que o levou de um estado dominado pelo vácuo falso (vf) a um estado dominado pela radiação. Admitindo que $\rho = \rho_{r}+ \rho_{vf}$ e $\rho_{r} \ll \rho_{vf}$, as equações (7) e (8) podem ser reescritas como

$$\left(\frac{\dot{R}}{R}\right)^{2}=\frac{8\pi G\rho_{vf}}{3}-\frac{kc^{2}}{R^{2}}+\frac{\Lambda c^{2}}{3},$$

$$\frac{\ddot{R}}{R}=\frac{\Lambda c^{2}}{3}+8\pi G\rho_{vf}.$$

A Equação (21) é uma equação linear homogênea de segunda ordem e admite solução na forma

$$R(t)\propto\exp\left(\frac{t}{\tau}\right),$$

em que

$$\tau=\left(\frac{3c^{2}}{8\pi Gu_{vf}+\Lambda c^{4}}\right)^{1/2}.$$

Para $\Lambda=0$ tem-se $\tau \approx 10^{-33}$ s. A imposição de que a solução dada pela Equação (22) também seja solução da Equação (20) implica que $k$ deve ser desprezível (a curvatura do Universo $\rightarrow 0$). Para se ter uma idéia qualitativa do significado dessa expansão, durante o processo inflacionário o Universo necessitou de $\sim10^{-31}$ s para que $R(t)$ aumentasse por um fator $e^{ 100}\approx 10^{43}$. Imediatamente antes e após a inflação, o Universo era dominado pela radiação e o fator de escala era dado por $R(t)\propto t^{1/2}$. Depois de $t \mathrel{\copy\simgreatbox}10^4$ anos o Universo passou a ser dominado pela matéria e $R(t)\propto t^{2/3}$. Portanto, da nucleossíntese primordial até hoje, o fator de expansão teria sido de $\sim 10^{32}$ ao longo de cerca de $\sim 10^{17}$ s.

O problema da curvatura é resolvido com a expansão inflacionária e o conseqüente aumento no fator de escala. Não importa a condição inicial: se houve um período inflacionário devemos ter, necessariamente, $\Omega_{0}\rightarrow 1$. O problema do horizonte também é solucionado pelo modelo inflacionário. Um argumento quantitativo, para solucionar o problema do horizonte, é obtido ao se comparar a distância que a luz pôde viajar do início da inflação $t_{inf}$, durante um intervalo $\Delta t$, com a distância que pôde viajar após o desacoplamento, isto é,

$$e^{\Delta t/\tau}\int_{0}^{\Delta t}\frac{dt}{e^{t/\tau}}\gg t_{0}^{2/3}\int_{t_{des}}^{t_{0}}\frac{dt}{t^{2/3}}.$$

Essa integral fornece

$$H^{-1} \left(e^{\Delta t/\tau}-1\right)\gg 3t_{0}\approx 2H^{-1}.$$

A Equação (25) mostra que, no contexto inflacionário, foi possível estabelecer contato causal entre todas as regiões do Universo antes que elas fossem separadas por distâncias superiores ao horizonte de eventos. Essa expansão rápida também reduz a densidade de monopólos por um fator proporcional a $R^{-3}\propto\exp\left(\frac{-3t}{\tau}\right)$. Dessa forma, a densidade atual de monopólos é desprezível, o que é compatível com o fato de que monopólos nunca foram detectados experimentalmente.

Uma outra característica atraente da inflação é a possibilidade de ela apresentar um mecanismo para explicar a existência de perturbações de densidade que dariam origem a estruturas em grande escala. Flutuações quânticas teriam sido ampliadas pela inflação e evoluído para gerar flutuações de densidade no plasma primordial. Após o desacoplamento, essas flutuações de densidade foram amplificadas e deram origem às estruturas observadas atualmente (galáxias, aglomerados, superaglomerados).

Entretanto, ainda persistem problemas que não são explicados mesmo incorporando o modelo inflacionário ao MCP. O principal deles é o da existência de uma singularidade nos instantes iniciais do Universo. Quando $t\mathrel{\copy\simlessbox}t_{Planck}\sim 10^{-43}$ s, as energias envolvidas tornam-se tão grandes que é necessário o uso de uma teoria quântica da gravitação, ainda desconhecida. Portanto, mesmo que o modelo inflacionário seja verdadeiro, ele apenas descreve a dinâmica do Universo nos instantes posteriores a $t_{Planck}$, mas o problema de como e o quê originou o Universo continua sem resposta.