O problema da curvatura

Nos modelos de Friedmann ($\Lambda=0$), a substituição da Equação (10) em (7) fornece

$$kc^{2}=(\Omega-1)R^{2}H^{2}.$$

No contexto do MCP, pode-se mostrar que na era radiativa ($\rho_{r}\gg \rho_{m}$), a dinâmica do Universo obedecia a uma lei do tipo $R\propto t^{1/2}$. Já na era dominada pela matéria, ($\rho_{r}\ll \rho_{m}$) passou a obedecer a $R\propto t^{2/3}$. Portanto, utilizando a definição (9), tem-se

$$\left\lbrace \begin{array}{l l} \vert\Omega-1\vert\propto t & ... ... t^{2/3} & \textrm{se } \rho_{r}\ll p_{m}.\\ \end{array}\right.$$

Dados recentes indicam que $\Omega_{0} = 1,02 \pm 0,02$, $t_{0} = 13,7 \times 10^{9}$ anos e $t_{des}=3,8 \times 10^{5}$ anos. Logo, tem-se

$$\frac{\mid\Omega_{0}-1\mid}{\mid\Omega_{des}-1\mid}=\left(\frac{t_{0}}{t_{des}}\right)^{2/3} \sim 10^{3}.$$

Dessa forma, na época do desacoplamento deveríamos ter $\vert\Omega_{des}-1\vert\sim 10^{-3}$. Analogamente, na época de Planck $t_{P}=1,35 \times 10^{-43}$ s, com $\vert\Omega_{P}-1\vert\sim 10^{-60}$. Isto é, a existência de um Universo plano no MCP exige condições iniciais muito restritas. Por que a densidade no Universo jovem era tão próxima da densidade crítica $\rho_{c}$?